Número entero

La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, solo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).

Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales

\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\cdots \}

, sus inversos aditivos y el cero.¹ Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que cero y todos los enteros positivos. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, se puede escribir un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra

\mathbb {Z} =\{\cdots ,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,\,\cdots \}

letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda del cero y a su derecha los positivos.

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo el modelo de los números naturales añadiendo unas normas para el uso del signo.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

Ciertas magnitudes como la temperatura o la altura usan valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metrospor encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

Introducción

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar de ganancias y pérdidas:

Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice queperdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.

Números con signo

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:

Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...

Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.

Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra $Z$ , también escrita en «negrita de pizarra» como $ℤ$ :

$\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,+1,+2,\dots \}$

La recta numérica

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay del origen (cero) hasta un punto dado. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||».

Ejemplos. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

El orden de los números enteros puede resumirse en:

El orden de los números enteros se define como:

Dados dos números enteros de signos distintos, $+ a$ y $- b$ , el negativo es menor que el positivo: $- b < + a$ .

Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».

El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».

El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Ejemplos. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

Operaciones con números enteros

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.

Suma

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color.

En la suma de dos números enteros, se determina por separado elsigno y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.

Si ambos sumandos tienen distinto signo:

El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.

El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplos. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa. Dados tres números enteros $a$ , $b$ y $c$ , las sumas $(a + b) + c$ y $a + (b + c)$ son iguales.

Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros $a$ y $b$ , las sumas $a + b$ y $b + a$ son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros $a$ quedan inalterados al sumarles 0: $a + 0 = a$ .

Ejemplo.

Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero $a$ , existe otro entero $- a$ , que sumado al primero resulta en cero: $a + (- a) = 0$ .

Resta

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

Multiplicación

La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos

(+) × (+)=(+) Más por más igual a más.

(+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.

(−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.

(−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

Ejemplos. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa. Dados tres números enteros $a$ , $b$ y $c$ , los productos $(a \times b) \times c$ y $a \times (b \times c)$ son iguales.

Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros $a$ y $b$ , los productos $a \times b$ y $b \times a$ son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros $a$ quedan inalterados al multiplicarlos por 1: $a \times 1 = a$ .

Ejemplo.

Propiedad asociativa:

[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:

Propiedad distributiva. Dados tres números enteros $a$ , $b$ y $c$ , el producto $a \times (b + c)$ y la suma de productos $(a \times b) + (a \times c)$ son idénticos.

Ejemplo.

(−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
[ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

Propiedades algebraicas

Artículo principal: Propiedades de los números enteros

El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo; y posee una relación de orden. Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.

1

Inglés	Español	Ejemplo
half past	y media	It's half past four. (Son las cuatro y media.)
a quarter past	y cuarto	It's a quarter past four. (Son las cuatro y cuarto.)
a quarter after	y cuarto	It's a quarter after four. (Son las cuatro y cuarto.)
quarter to	falta un cuarto	It's a quarter to four. (Falta un cuarto para las cuatro.)

1	15/01/2018	14	23/04/2018	27	13/08/2018
2	22/01/2018	15	30/04/2018	28	20/08/2018
3	29/01/2018	16	07/05/2018	29	27/08/2018
4	05/02/2018	17	14/05/2018	30	03/09/2018
5	12/02/2018	18	21/05/2018	31	10/09/2018
6	19/02/2018	19	28/05/2018	32	17/09/2018
7	26/02/2018	20	04/06/2018	33	24/09/2018
8	05/03/2018	21	02/07/2018	34	01/10/2018
9	12/03/2018	22	09/07/2018	35	15/10/2018
10	19/03/2018	23	16/07/2018	36	22/10/2018
11	02/04/2018	24	23/07/2018	37	29/10/2018
12	09/04/2018	25	30/07/2018	38	05/11/2018
13	16/04/2018	26	06/08/2018	39	12/11/2018
				40	19/11/2018

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